1. 서 론
결정소성 유한요소해석법(crystal plasticity finite element method, CP-FEM)은 결정의 특정 면 상에서 특정 방향 으로의 슬립(slip)에 기인하는 소성 거동을 유한요소법의 틀 안에서 해석하는 전산모사의 방법으로 일반적으로 결 정립 내의 슬립에 의한 소성 거동(주로 단결정 소성 거 동에 해당), 결정립과 결정립 사이의 슬립 이방성 및 이 에 따른 상호 소성 구속에 의한 미시적 국부소성(mesoscopic plasticity, 주로 다결정의 경우에 해당) 거동 해석 에 널리 쓰이고 있다.1-27) 이러한 CP-FEM기법이 소개된 이후 보다 정확한 국부소성 변형 해석을 위해 슬립 변 형 기구의 심화된 분석 및 이해에 바탕을 둔 다양한 결 정소성 모델들이 구성방정식의 형태로 사용되어 왔다. 초 기에는 주로 거시적 소성 거동에 기반한 현상론적(phenomenological) 결정소성 모델들이 주를 이룬 반면, 지 난 십 여 년간은 전위(dislocation)의 미세 거동에 기반 한 새로운 결정소성 모델들이 많이 소개되었다.
특히, 90년대 중반부터는 변형구배 결정소성(strain gradient crystal plasticity, SGCP) 모델이 개발되어 결정소 성 해석에 자주 이용되어 왔는데, 이는 국부적 변형구 배(strain gradient)가 국부적 전위(geometrically necessary dislocation, GND) 밀도를 야기시킨다는 근거하에 이를 소성 거동 해석에 반영한 이론적 접근법이라 볼 수 있 다. 국부적 변형구배에 의해 GND가 형성된다는 이론적 근거는 Nye에 의해 제안되었지만,28) 실제로 변형구배의 크기를 정량화하는 수식은 90년대 후반 Acharya에 의해 서 제안되었다.29) 이 후 Acharya와 Beaudoin을 선두로 해서 다수의 연구자들이 변형구배 결정소성 개념을 유 한요소해석에 접목시켜서 결정소성 거동을 해석하는 다양 한 방식의 SGCP-FEM 전산모사 기술을 소개하였다.30-44)
기존 CP-FEM의 경우 전산모사 공간상에서 변형구배 에 대한 고려가 없으므로 해석 시 요소(element)의 크기 에 대한 의존성이 없으나, SGCP-FEM에서는 요소의 크 기가 달라짐에 따라 변형구배의 정도가 달라지고 이에 따라 국부적 소성 거동이 변하므로 “scale-(혹은 size-) dependent plasticity”라고도 불린다. SGCP-FEM의 이러 한 ‘size dependence’를 활용하여 다결정의 항복강도 및 인장강도의 결정립 크기 의존성(즉, Hall-Petch 거동) 및 석출상의 크기 의존성을 예측하는 다양한 연구가 행해 져 왔으며,36,43,44) 본 저자들도 NIMONIC PE16 합금의 Hall-Petch 거동을 새로이 개발된 변형구배 결정소성(SGCP) 모델을 이용하여 비교적 정확하게 예측할 수 있었다.45)
이전 연구에서 본 저자들은 면심입방(face centered cubic, FCC) 결정구조를 가지는 단결정 마이크로 필러 (micro-pillar)의 압축 거동을 기존의 CP-FEM을 이용하 여 해석하였으며, 그 결과 FCC 단결정 필러의 결정방 위가 하나의 주슬립 시스템(primary slip system) 만 가 지도록 조절된 경우 주슬립면(primary slip plane)과 압 축 하중 방향 사이의 경사각의 크기에 따라 단결정 필 러의 소성 변형 거동이 달라짐을 확인하였다.46) 특히, 주 슬립면의 경사각이 일정 크기(39.5도)보다 커질 경우 단 결정 필러의 거시적 소성 변형 거동이 그렇지 않을 경 우와는 반대로 진행됨을 확인하였다. 본 연구에서는 변 형구배 결정소성에 기반을 둔 SGCP-FEM을 이용하여 단 결정 마이크로 필러의 압축 거동을 해석하였으며, 그 결 과를 기존의 CP-FEM 해석 결과와 비교하였다. 또한, 이 를 통해 단결정 마이크로 필러의 압축 거동에 미치는 변 형구배 결정소성의 영향을 분석하였다.
2. 변형구배 결정소성 모델 (strain gradient crystal plasticity model)
SGCP-FEM을 이용한 FCC 단결정 마이크로 필러의 압 축 거동 모델링을 위해 본 연구에서는 아래와 같은 변 형구배 결정소성 구성 방정식(constitutive equation)을 개 발하여 사용하였다. 우선, 각 슬립 시스템에서 슬립 전 단 변형 속도 계산을 위해 아래와 같은 Power law식을 사용하였다.
식(1)에서 는 슬립 시스템 α에서 전단 변형 속도, 는 표준전단변형속도(reference shear rate), τα는 슬립 시스템 α에서의 분해전단응력(resolved shear stress), 는 슬립 시스템 α에서 슬립 저항(slip resistance) 응력, 그 리고 m은 strain-rate sensitivity를 나타낸다. 또한 식(1) 에서 슬립 저항 응력()의 계산을 위해 아래와 같은 Baily-Hirsch식을 사용하였다.
식(2)에서 ρα는 슬립시스템 α에서 전위 밀도, 은 임 계분해전단응력(critical resolved shear stress), η는 슬립 형상 계수, μ는 전단계수(shear modulus), b는 버거스 벡 터의 크기, Aαβ는 슬립강도 상호작용계수(slip strength interaction coefficient)를 나타낸다. Baily-Hirsch식은 소 성변형으로 인한 전위 밀도의 증가 및 전위 상호 작용 으로 인해 슬립 저항성이 증가하는 것을 수식화 한 것 이다. 특히, Aαβ는 슬립 시스템 α의 슬립 저항에 미치 는 슬립 시스템 β 상에서의 전위 밀도의 영향을 정량 화 시킨 계수이다. FCC 결정의 경우 12개의 슬립 시스 템이 있는데, 이들 중 임의의 α, β 두 슬립 시스템 상 에서 전위들이 상호 작용할 경우 self hardening(ASH), coplanar system(ACO), cross slip(ACS, collinear), Hirth lock(AHL), glissile lock(AGL), Lomer-Cottrell(ALC) lock의 총 6가지 상호 작용 형태(계수)가 존재하는 것으로 알 려져 있다.47-50)
식(2)에서 소성 변형에 따른 전위 밀도의 변화를 나타 내기 위해 아래와 같은 전위 밀도 증식식을 사용하였다.
식(3)은 괄호 안의 첫번째 항목을 제외하면 Kocks, Mecking, Estrin의 전위 밀도 증식식51,52)과 같은 형태가 된다. Kocks-Mecking-Estrin 전위 밀도 증식식에 따르면 전위 밀도는 상호 작용에 의해 증식(proliferation) 과 소 멸(annihilation)을 반복하게 되는데, 이 때 전위 증식은 k1 관련 항목, 전위 소멸은 k2 관련 항목에 의해 제어된 다. 본 연구에서는 Kocks-Mecking-Estrin 전위 밀도 증 식식에 변형구배(strain gradient)에 기인한 전위 밀도 증 식 분(식(3)의 첫번째 항목)을 추가하여 식(3)의 형태로 표현하였다. 여기서, λα는 슬립 시스템 α에서의 slip-plane lattice incompatibility29)라 불리우며, 변형구배의 정도를 정량화 시킨 파라미터로써 아래와 같이 나타내어 진다.
여기서
여기서 로 나타내어 진다. 식(5)의 Λ는 전위가 존재할 경우 주 변의 변형장(특히 탄성 변형)에 기인하는 lattice incompatibility를 정량화시킨 인자이며, F*는 탄성변형구배텐서 (elastic deformation gradient tensor), ei는 좌표축의 basis vector를 의미한다. 또한, 식(6)의 는 반대칭텐서(skew symmetric tensor)인데, 여기서 mα는 α 슬립면에 대한 수 직 방향을, a는 관심있는 방향으로의 벡터를 나타낸다. 식(5)는 전위의 존재로 인해 주변에 생기는 탄성변형구 배의 정도를 정량화한 텐서(tensor)라고 볼 수 있다. 이 를 특정 슬립 시스템에 대해서 정량화할 경우, 그 슬립 시스템 상의 전위에 의한 lattice incompatibility가 정량 화 될 수 있다. 이를 위해 식(6)에서와 같이 특정 슬립 계에 대한 반대칭텐서를 만들고 이를 식(5)의 탄성변형 구배와 결합시킬 경우 식(4)에서와 같이 특정 슬립 시 스템에서의 lattice incompatibility가 정량화 될 수 있으 며, 이를 슬립 시스템 α에 대한 slip-plane lattice incompatibility( λα)라 부른다. 여기서, λα가 지니는 물리적 인 의미는 국부적인 변형구배가 존재할 경우 그 위치에 서 슬립 시스템 α에 해당하는 전위 선밀도(dislocation line density)의 정량적인 표현이라고 볼 수 있다. 식(1~6) 에 나타난 바 와 같이 본 연구에서 제안한 변형구배 결 정소성 모델에서는 재료내에 국부적인 변형구배(식(5)의 와 )가 생길 경우 그 정도에 따라 각 슬립 시 스템에서의 전위 선밀도(λα)가 식(4)를 통해 계산되고 그 값이 식(3)의 전위 밀도(ρα)의 계산에 영향을 미치므로, 궁 극적으로는 식(2)의 슬립 저항 응력() 및 식(1)의 슬 립 전단 변형 속도()에 영향을 미치게 된다.
3. 단결정 마이크로 필러 압축 거동의 CP-FEM과 SGCP-FEM
FCC 단결정 마이크로 필러의 압축 소성 거동 해석을 위해 앞 절에서 언급한 변형구배 결정소성 모델을 이용 하여 SGCP-FEM 해석을 실시하였다. 또한, CP-FEM 해 석도 병행하여 두 결과를 비교 분석하였다. 우선, 유한 요소해석을 위해 앞 절의 변형구배 결정소성 모델을 User MATerial subroutine(UMAT)의 형태로 코드화 하여 상용 유한요소해석 프로그램인 ABAQUSTM에 연결되도록 하 였다. 이 때 결정소성 모델의 시간 적분(time integration) 을 위해 Pierce, Asaro, Needleman이 제안한 tangent modulus 적분법53-55)을 적용하였으며, 주요 구성방정식 인 자들의 시간 구간(t~t+Δt) 별 업데이트를 위해 forward 및 backward Euler 적분 방식을 혼용하였다. 본 연구의 SGCP-FEM 해석을 위해 사용된 주요 파라미터들의 입 력 값들을 Table 1에 정리하였다. 여기서 C11, C22, C44 는 탄성계수(elastic constants)를 나타내며 본 연구에서는 니켈기 단결정 합금의 값들을 사용하였다. 또한, 6개의 슬립강도 상호작용계수(Aαβ) 값들은 기존 문헌 조사를 통 해 보고된 값들을 취합하여 설정하였다.48,49) 특히, SGCPFEM 해석 결과와 비교를 위한 CP-FEM 해석을 위해서 는 식(3)의 변형구배 항목(괄호 안 첫 번째 항목)을 제 거한 후 해석을 실시하였다. 이는 식(3)에서 ko 값을 0 으로 두는 경우와 같다(Table 1).
Table 1
Major parameter input values used for CP- and SGCPFEM modeling.
단결정 마이크로 필러 압축 소성 변형 거동의 CP-FEM 및 SGCP-FEM 해석을 위해 본 연구에서는 Fig. 1과 같 은 형상을 이용하였다. 우선, 직경 10 μm, 높이 23 μm 의 단결정 필러와 베이스 부는 서로 연결되어 있으며 육 면체의 선형요소(linear element, C3D8)로 형상을 구성하 였다. 필러 상단 표면에서부터 압축을 할 수 있도록 압 반(platen)을 두었으며, 압반은 상·하 이동만 할 뿐 변 형이 없는 ‘rigid body’의 형태로 설정하였다. 또한, 필 러 상단 표면과 압반 하단 표면 사이의 접촉은 마찰계 수가 0이 되도록 설정하였다. 기초 유한요소해석 모사를 통해 압반을 통해 압축이 가해질 경우 필러 부에서만 소 성 변형이 일어나도록 베이스 부의 형상을 최적화 시켰 다.3,4) Fig. 1에서 단결정 마이크로 필러의 결정 방위는 12개의 FCC 결정 슬립 시스템들 중 (111)[101] 슬립이 주슬립(primary slip, Fig. 1의 화살표 참조) 시스템이 되 고, 경사각(θ)이 36.3°, 48.7°가 되는 두 가지 경우에 대 해 고려하였다. FCC 결정에 대한 12개 슬립 시스템을 번호 순으로 Table 2에 정리하였다. 또한, 압축 시 변형 률 속도는 10−3/sec로 하였으며, 10 % 까지 압축 변형 해 석을 실시하였다. 단결정 마이크로 필러의 압축 변형 거 동 해석 후 응력-변형율 곡선, 전단 변형율 변화, 형상 변화, 초기 소성 구간에서의 주요 소성 인자 변화, 주 슬립 시스템의 변화 결과들을 CP-FEM 및 SGCP-FEM 경우에 대해 각각 비교 분석하였다.
4. 모델링 결과 및 고찰
단결정 마이크로 필러의 CP-FEM 및 SGCP-FEM 해 석 후 경사각(θ) 별로 응력-변형율 곡선을 Fig. 2에 정 리하였다. 변형구배가 고려되지 않은 CP-FEM의 경우 변 형경화(strain hardening) 구간이 없이 항복 후 θ의 크기 에 따라 응력이 일정하거나 지속적으로 감소하는 경향 을 보였으나, 변형구배가 포함된 SGCP-FEM의 경우 항 복 후 어느 정도의 변형경화를 보였으며, 이러한 변형 경화 현상은 낮은 경사각의 경우(θ = 36.3°)에 더욱 뚜렷 하게 나타났다. Fig. 3은 10 % 압축 변형된 마이크로 필 러의 단면 형상을 나타내는데, 그림에 색상으로 나타난 등고선(contour)의 기준값은 12개 슬립 시스템의 축적된 총슬립전단변형율(Σγp, total accumulated slip shear strain) 을 나타낸다. 여기서, 같은 주슬립 시스템(Table 2의 2 번 슬립)을 가지는데도 불구하고 CP-FEM 해석 결과 압 축 변형 형상이 θ의 크기에 따라 크게 달라지는 원인에 대해서는 저자의 다른 논문에서 이미 논의 되었다.46) 요 약하자면, Fig. 3의 단결정 마이크로 필러의 주슬립 방 향은 그림에서 표기한 바 와 같이 왼쪽 상단에서 오른 쪽 하단으로의 대각선 방향([101] 방향)인데 낮은 θ값의 경우 필러 전체에 걸쳐 주슬립 방향과 같은 방향으로 연 속적인 슬립전단변형 띠(band)가 형성되지만(Fig. 3(a)), 높은 θ값의 경우 연속역학(continuum mechanics)의 측면 에서 소성에 대한 형상구속(geometric constraint)으로 인 해 우측 상단에서 좌측 하단으로 불연속적 슬립전단변 형 띠가 형성되고(Fig. 3(b)) 이에 따라 필러의 변형 형 상이 θ값에 따라 서로 상이하게 된다. 본 연구에서는 이 러한 단결정 마이크로 필러 CP-FEM 압축 변형 거동이 변형구배 결정소성(SGCP-FEM)이 고려됨에 따라 어떻게 변하는지를 조사하는데 초점을 맞추었다.
Fig. 2
Compressive true stress-true strain curves simulated by CPand SGCP-FEM for θ = 36.3 and 48.7 degrees. CP-FEM results were taken from authors’ previous work published in [46].
Fig. 3
Y-Z cross-sectional views of simulated total accumulated slip shear (Σγp) contours at 10 % strain for θ = 36.3 and 48.7 degrees. (a) and (b) were taken from authors’ previous work published in [46].
우선, Fig. 3의 예측 결과를 통해서는 변형구배가 고 려되더라도 필러 전체 압축 변형 형상의 θ-의존성은 CPFEM 결과 대비 유사한 것으로 확인되었다. 하지만 필 러 단면 전체에 걸쳐 슬립전단변형 띠의 형성 정도가 변 형구배가 고려됨에 따라 다소 약화되었음을 Fig. 3(c, d) 를 통해 확인 할 수 있었다. 이러한 차이점은 압축 변 형 전, 후로 해서 필러 상부 표면 외곽형상의 변형 및 변위(displacement) 정도를 비교한 Fig. 4에서 더욱 뚜렷 이 확인할 수 있다. 변형구배가 고려됨에 따라 낮은 θ 값의 경우 +Y 방향으로의 필러 상부 표면의 변위가 억 제 되었으며, 높은 θ값의 경우에도 −Y 방향으로의 필러 상부 표면의 변위가 억제되었음을 알 수 있다. 또한, 변 형구배로 인한 필러 상부 표면 변위 구속의 정도가 낮 은 θ값에서 더 큼을 알 수 있다.
Fig. 4
Location and shape changes of top surfaces of micro-pillars after 10 % strain for θ = 36.3 and 48.7 degrees. CP-FEM results were taken from authors’ previous work published in [46].
이러한 변형구배의 유무에 따른 결정소성 거동의 차이 를 좀 더 자세히 조사하기 위해 항복 직후 마이크로 필 러 단면에서의 총슬립전단변형율(Σγp) 분포의 변화를 비 교하여 Fig. 5(θ = 36.3°의 경우)와 Fig. 6(θ = 48.7°의 경 우)에 나타내었다. Fig. 5와 6에서 보는 바와 같이 θ값 에 관계없이 항복 직후 0.54 %의 낮은 압축 변형율에서 Σγp의 분포는 CP-FEM과 SGCP-FEM에서 국부적인 차 이 이외에는 전체적으로 유사하게 나타나지만, 압축 변 형율이 증가함에 따라 Σγp가 형성되는 정도가 SGCPFEM에서 더 약함을 알 수 있다. 특히, 낮은 θ값의 경 우(Fig. 5) Σγp의 분포에서도 어느정도 차이를 보이는데, CP-FEM에서는 1 % 압축 변형율에서 주슬립 방향으로 왼 쪽 상단에서 오른쪽 하단으로 Σγp 분포 띠가 이미 형성 되었으나(Fig. 5(c)), SGCP-FEM에서는 Σγp 분포 띠의 형성이 불연속적이고 방향성이 상이함(Fig. 5(f))을 알 수 있다. Fig. 6의 높은 θ값의 경우에는 압축 변형율이 0.6 %, 1 %로 증가함에 따라 Σγp 분포의 형태가 CP-FEM과 SGCP-FEM에서 유사하나 그 형성의 정도가 SGCP-FEM 에서 다소 약함을 알 수 있다.
Fig. 5
Y-Z cross-sectional views of simulated total accumulated shear (Σγp) contours for θ = 36.3 degrees at 0.54 % ~ 1.0 % strains.
Fig. 6
Y-Z cross-sectional views of simulated total accumulated shear (Σγp) contours for θ = 48.7 degrees at 0.54 % ~ 1.0 % strains.
Fig. 7은 각 슬립 시스템 별로 축적된 슬립전단변형율 의 변화를 압축 변형율에 따라 나타낸 것으로 θ값에 따 라 그리고 변형구배의 유무에 따라 비교가 되어있다. 여 기서, θ값이 낮은 경우는 슬립이 가장 활발히 일어난 순 서대로 첫 번째(primary), 두 번째(secondary), 세 번째 (tertiary) 슬립 시스템에 대한 슬립전단변형율의 변화를 나타내었으며, θ값이 높은 경우는 첫 번째와 두 번째 슬 립 시스템에 대한 슬립전단변형율의 변화만을 나타내었 다. 우선, θ값이 낮은 경우 CP-FEM(Fig. 7(a))에서는 초 반에는 슬립 시스템 2번이 가장 발달하나 약 7.5 % 압 축 변형율 이후 슬립 시스템 4번이 상당이 활발해 지는 것으로 나타났으며, 이는 Fig. 2에서 해당 응력-변형율 곡 선이 연화(softening)현상을 보이는 지점과 일치함을 알 수 있다. SGCP-FEM의 경우(Fig. 7(b))에도 슬립 시스템 4번이 점진적으로 발달했지만, 7 % 압축 변형율 이후에 도 다른 두 슬립 시스템들(2번과 8번)이 4번과 함께 여 전히 활발한 것으로 나타났다. 특히, CP-FEM의 경우 초 반부 슬립 시스템 발달의 정도가 2번, 3번, 4번의 순서 였다가 7.5 % 압축 변형율 이후 4번이 우선적으로 발달 하게 되었지만, SGCP-FEM의 경우 초반부 슬립 시스템 발달의 정도가 2번, 8번, 4번의 순서로 CP-FEM의 경우 와 서로 상이함을 알 수 있다. 이는 변형구배가 고려됨 에 따라 슬립 시스템의 우선 발달 순위가 바뀔 수 있 음을 의미하는 것이다. 하지만, 높은 θ값의 경우 변형구 배의 유무에 상관없이 슬립 시스템 발달 순위가 2번, 8 번으로 그대로 유지되는 것으로 나타났다.
Fig. 7
Evolution of accumulated shear of major slip systems for θ = 36.3 and 48.7 degrees as a function of axial compressive strain: (a) CP-FEM and (b) SGCP-FEM results. (a) was taken from authors’ previous work published in [46].
Fig. 8은 10 % 압축 변형 후 마이트로 필러 단면에서 슬립 전단 변형으로 인한 결정방위 회전의 정도를 회전 각(lattice rotation angle)으로 각 해석 조건 별로 나타낸 것이다. 우선, CP-FEM의 경우 낮은 θ값에서는(Fig. 8(a)) 왼쪽 상단에서 오른쪽 하단으로 결정방위 회전각 띠가 형성되었으며, 이는 Fig. 3(a)의 Sγp띠와 유사한 형태임 을 알 수 있다. 하지만, SGCP-FEM의 경우 낮은 θ값에 서(Fig. 8(c)) 형성된 결정방위 회전각 띠의 분포 방향은 CP-FEM의 경우와 유사하지만 다소 불연속적이고 그 크 기도 작음을 알 수 있다. 반면, 높은 θ값의 경우 CPFEM과 SGCP-FEM 모두 결정방위 회전각의 크기가 상 대적으로 작으며, 그 분포 또한 뚜렷한 방향성의 차이를 보이지 않음을 알 수 있다. Fig. 9는 10 % 압축 변형 후 각 해석 조건 별로 마이크로 필러 단면에서 가장 활발 한 주슬립 시스템의 분포를 나타낸 것이다. CP-FEM의 경우 낮은 θ값에서는(Fig. 9(a)) Fig. 8(a)에서처럼 왼쪽 상단에서 오른쪽 하단 대각선 방향으로 높은 결정방위 회전으로 인해 주슬립 시스템이 기존의 2번에서 4번으 로 대각선 방향을 따라 완전히 변했음을 알 수 있다. 하 지만 SGCP-FEM의 경우 낮은 θ값에서는(Fig. 9(c)) 기존 의 2번과 나중에 발달한 4번 슬립 시스템이 주슬립 시 스템으로 함께 불연속적으로 분포하는 것으로 나타났다. 이는 Fig. 8(c)의 결정방위 회전각의 대각선 방향 불연 속 분포와 연관성이 있는 것으로 생각된다. 또한, Fig. 9(a) 대비 슬립 시스템 8번이 주슬립 시스템인 분포가 두 드러졌는데(Fig. 9(c) 왼쪽 하단부에 주로 분포), 이는 Fig. 7(b)에서 슬립 시스템 8번의 상대적으로 높은 활동 성과 연관이 있는 것으로 판단된다. 높은 θ값의 경우(Fig. 9(b,d)) 주슬립 시스템의 분포가 CP-FEM과 SGCP-FEM 모두 오른쪽 상단에서 왼쪽 하단 대각선 방향으로 발달 하였으며, 원래 주슬립 시스템이던 2번이 10 % 압축 변 형 이후에도 여전히 주슬립 시스템으로 존재하는 것으 로 나타났다. 이는 Fig. 8(b, d)에서 나타난 바와 같이 낮은 결정방위 회전으로 인해 초기 주슬립 시스템이 그 대로 유지되었기 때문이라 생각된다.
Fig. 8
Y-Z cross-sectional views of simulated crystal-rotation angle contours at 10 % strain for θ = 36.3 and 48.7 degrees. (a) and (b) were taken from authors’ previous work published in [46].
Fig. 2에서부터 Fig. 9까지의 해석 결과들을 바탕으로 마이크로 필러의 압축거동에 미치는 변형구배 결정소성 의 영향을 아래와 같이 정리해 보았다. 우선, Fig. 2의 예측 결과를 통해 변형구배가 포함됨에 따라 응력-변형 율 곡선에 변형경화 현상이 나타나고 그 정도가 θ값의 크기에 따라 달라짐을 확인하였다. 이는 식(3)에서 변형 구배 의 정도가 λα를 통해 전위밀도의 증가에 반영됨으 로써 식(2)의 슬립 저항 응력()을 증가시킴에 의한 변 형경화로 판단된다. 여기서, 변형경화의 정도가 θ값에 따 라 달라짐은 변형구배의 정도가 θ값에 따라 달라짐을 의 미한다. 낮은 θ값의 경우, Fig. 3(a)에서처럼 주슬립 방 향(([101])이 마이크로 필러 시편을 왼쪽 상단에서 오른 쪽 하단의 대각선으로 가로지르는 전단변형의 방향과 일 치하여 변형구배가 잘 발달되고 이에 따라 식(3), (2)를 통해 슬립 저항 응력의 증가로 인한 변형경화 효과가 큰 것으로 판단된다. 또한, 이러한 높은 변형구배로 인해 슬 립 저항 응력(즉, 슬립 저항성)이 증가하여 Fig. 4에 나 타난 바 와 같이 마이크로 필러의 상부 표면의 +Y 방 향으로의 이동을 억제하는 효과를 나타냈다. 여기서, 변 형구배의 정도가 상대적으로 약한 높은 θ값의 경우 Fig. 2에서와 같이 응력-변형율 곡선에서 변형경화의 정도도 약하고, 또 슬립 저항도 상대적으로 약하므로 Fig. 4에 서처럼 마이크로 필러 상부 표면의 −Y 방향으로의 이 동을 억제하는 정도도 작음을 알 수 있다.
Fig. 9
Y-Z cross-sectional views of simulated primary slip system distribution at 10 % strain for θ = 36.3 and 48.7 degrees. (a) and (b) were taken from authors’ previous work published in [46].
여기서, 한 가지 특이한 것은 변형구배의 정도가 상대 적으로 큰 낮은 θ값의 경우 초기에 형성되는 주요 활 성화 슬립 시스템의 종류가 변형구배를 고려하지 않은 경우와 비교해서 다른 것으로 나타났다(Fig. 7(a, b)의 실 선 곡선들). 압축 변형 초기에 형성되는 슬립 시스템 활 성화의 정도가 CP-FEM의 경우 2번, 3번, 4번의 순이었 으나, SGCP-FEM의 경우 2번, 8번, 4번의 순서로 나타 났다. 3번과 8번 슬립 시스템 모두 슬립 시스템 2번과 비교하여 축적된 슬립전단변형율의 크기가 상대적으로 작 으며, 주로 마이크로 필러 하단 부 모퉁이 영역 근처에 서 활발하다(Fig. 9(a, c)). 낮은 θ값의 경우 −Z방향으로 압축 시 슬립 시스템 3번과 8번의 Schmid factor는 각 각 0.41과 0.40으로 유사하다; 참조로 슬립 시스템 2번 의 경우 Schmid factor 값은 0.45이다(Table 3). 여기서, 낮은 θ값의 경우 마이크로 필러의 압축 변형 시 슬립 시스템 3번과 8번은 형상 구속(geometric constraint) 효 과가 상대적으로 큰 필러 하단의 모퉁이 영역에서 주로 활성화 되는데, CP-FEM에서는 오른쪽 하단부에 슬립 시 스템 3번이(Fig. 9(a)), SGCP-FEM에서는 왼쪽 하단부에 슬립 시스템 8번이(Fig. 9(c)) 주로 활성화 되는 것으로 나타났다. 이는 CP-FEM에서 오른쪽 하단부에 활성화된 슬립 시스템 3번이 변형구배가 고려됨에 따라 국부적 슬 립 저항성 증가로 인해 비활성화 되고 대신 왼쪽 하단 부의 슬립 시스템 8번의 활성화가 더 촉진된 결과라 생 각된다. 결국, 변형구배의 영향이 결정소성 모델에 포함 될 경우, 단결정 마이크로 필러의 압축 변형 시 국부적 인 변형구배의 분포 및 그 정도에 따라 초기 슬립 시 스템의 활성화 정도가 바뀔 수 있고, 또 필러 전체의 변 형 거동 및 응력-변형율 곡선도 영향을 받음을 본 연구 를 통해 확인 할 수 있다. 특히, 본 연구에서는 낮은 θ 값의 경우가 변형구배의 정도가 심해 변형구배 고려의 효과를 더 크게 나타내었다.
Table 3
Primary slip-plane inclination angles (θ), corresponding Bunge angles and Schmid factors (SF), and differences in SF (ΔSF) between primary and secondary slip systems for the compression of single crystal micro-pillar. Slip system #2 is the primary slip system for both θ’s.
| θ (degree) | (ϕ1, Φ, ϕ2) (degree) | |SF| | ΔSF | Secondary Slip System |
|---|---|---|---|---|
| 36.3 | (60, 42, –8) | 0.45 | 0.04 | #3 |
| 48.7 | (74, 37, –26) | 0.47 | 0.11 | #3 |
5. 결 론
주슬립 시스템이 (111)[101]을 가지도록 결정방위가 조 절된 FCC 단결정 마이크로 필러의 압축 변형 거동을 주 슬립면의 경사각(θ)이 36.3° 및 48.7°인 경우에 대해 결 정소성 유한요소해석(CP-FEM) 및 변형구배 결정소성 유 한요소해석(SGCP-FEM)을 실시하였으며, 이를 통해 단결 정 마이크로 필러의 압축 거동에 미치는 변형구배의 영 향을 조사하여 다음과 같은 결론을 얻었다. 우선, 변형 구배의 영향을 결정소성 모델에 포함시킴에 따라 국부 적으로 슬립 저항 응력()이 증가하고, 따라서 마이크 로 필러의 슬립전단변형 거동이 전반적으로 억제되는 것 으로 나타났다. 특히, θ = 36.3°의 경우 주슬립 방향([101]) 과 마이크로 필러 전단 변형 띠의 방향이 일치하여 상 대적으로 높은 변형구배를 나타내었는데, 이로 인해 슬 립 저항성이 증가하여 변형구배로 인한 전단 변형 억제 효과가 θ = 48.7°의 경우 보다 큰 것으로 나타났다. 이 러한 변형구배로 인한 전단 변형 억제 효과로 인해 θ = 36.3°의 응력-변형율 곡선에서 높은 변형경화(strain hardening) 현상이 나타났다. 또한, 압축 변형 시 마이크로 필 러의 결정방위 회전 정도를 완화시켰으며, 결정방위 회 전에 따른 주 슬립 시스템의 변화도 억제하는 것으로 나 타났다. 또한, θ = 36.3°의 경우 마이크로 필러 압축 변 형 시 슬립 시스템 활동도의 순서가 CP-FEM과 SGCPFEM 해석 결과에서 상이하게 나타났는데, 이는 국부적 변형구배의 영향으로 인한 슬립 저항성 증가가 슬립 시 스템의 활동도를 변화시킴에 기인한 것으로 판단된다. 따 라서, 결정소성 모델에 변형구배의 영향을 포함시킬 경 우 국부적인 전단 변형의 크기 및 형태가 바뀔 수도 있 으며, 이로 인한 마이크로 소성 변형의 불균일한 분포 에도 영향을 미칠 것으로 판단된다.
